Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinα，3），$\overrightarrow{b}$=（cosα，1），且$\overrightarrow{a}$$∥\overrightarrow{b}$，求下列各式的值：
（1）tan（$\frac{π}{4}$+α）；
（2）4sin²α-sin2α．

Answer 1

分析 根据平面向量的共线定理，列出方程求出tanα的值；
再根据两角和的正切公式求出（1）tan（$\frac{π}{4}$+α）的值，利用弦化切，求出（2）4sin²α-sin2α的值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（sinα，3），$\overrightarrow{b}$=（cosα，1），且$\overrightarrow{a}$$∥\overrightarrow{b}$，
∴1•sinα-3cosα=0，
∴tanα=3；
（1）tan（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{tanα+tan\frac{π}{4}}{1-tanα•tan\frac{π}{4}}$
=$\frac{3+1}{1-3×1}$
=-2；
（2）4sin²α-sin2α=$\frac{{4sin}^{2}α-2sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$
=$\frac{{4tan}^{2}α-2tanα}{{tan}^{2}α+1}$
=$\frac{4{×3}^{2}-2×3}{{3}^{2}+1}$
=3．

点评 本题考查了平面向量的共线定理以及三角函数的化简与求值的应用问题，是基础题目．