题目内容
1．我们称满足下面条件的函数y=f（x）为“ξ函数”：存在一条与函数y=f（x）的图象有两个不同交点（设为P（x1，y1）Q（x2，y2））的直线，y=（x）在x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$处的切线与此直线平行．下列函数：①y=$\frac{1}{x}$ ②y=x2（x＞0）③y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$ ④y=lnx，
其中为“ξ函数”的是②③ （将所有你认为正确的序号填在横线上）
分析 利用导数的几何意义，分别判断四个函数求在x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$处的切线斜率与导数值是否相等即可．
解答 解：（1）设一条直线l与函数y=$\frac{1}{x}$的图象有两个不同交点P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2）的直线，可得kl=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$．由于y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，可得y=f（x）在x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$处切线的斜率k=f′（ $\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=-$\frac{4}{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}$，可得-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$≠-$\frac{4}{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}$，因此函数y=$\frac{1}{x}$不是ξ函数”；
（2）设一条直线l与函数y=x2（x＞0）的图象有两个不同交点P（x1，y1），Q（x2，y2）的直线，则kl=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=2x=x2+x1，
∵y′=2x，
∴y=f（x）在x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$处的切线的斜率k=f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=2×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=x1+x2，
∴存在一条直线l与函数y=f（x）的图象有两个不同交点P（x1，y1），Q（x2，y2）的直线，使y=f（x）在x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$处的切线与此直线平行，
因此函数y=x2为ξ函数；
同理可判定：（3）为“ξ函数；（4）不为ξ函数．
故答案为：②③．
点评 本题考查了新定义ξ函数、直线的斜率计算公式、利用导数研究函数切线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
活力课时同步练习册系列答案| A． | ξ取每个可能值的概率是非负实数 | |
| B． | ξ取所有可能值概率之和为1 | |
| C． | ξ取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和 | |
| D． | ξ取某2个可能值的概率大于分别取其中每个值的概率之和 |
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充分必要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
| A． | $（\frac{1}{3}，1）$ | B． | $（-∞，\frac{1}{3}）∪（1，+∞）$ | C． | $（-\frac{1}{3}，\frac{1}{3}）$ | D． | $（-∞，-\frac{1}{3}）∪（\frac{1}{3}，+∞）$ |