Question

在Rt△ABC中，BC=2，AB=4，∠ACB=90°，D为边AB的中点，沿CD把△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．
（1）求异面直线BC与AD所成角的余弦值．
（2）求平面ABC与平面ABD所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）在平面ACD中，过F作CF∥AD，且CF=AD=2，连接BF，则∠BCF或补角即为异面直线BC和AD所成的角．过B在平面BCD内作BE⊥CD，则垂足E即为中点，即有BE=

3

，再由余弦定理求EF，由勾股定理得到BF，再由余弦定理即可得到所求值；
（2）取AB的中点H，连接DH，则DH⊥AB，过D作DO⊥平面ABC，垂足为O，连接OH，易得OH⊥AB，则∠DHO即为面ABC与面ABD所成的锐二面角的平面角，在△ABD中求得DH，设D到平面ABC的距离为d，由于V_D-ABC=V_B-ACD，即有

1

3

dS_△ABC=

1

3

BE•S_△ACD，通过计算即可得到d，再在△DHO中，运用正弦和余弦函数的定义，即可得到所求值．

解答： 解：（1）在平面ACD中，过F作CF∥AD，且CF=AD=2，连接BF，
则∠BCF或补角即为异面直线BC和AD所成的角．
过B在平面BCD内作BE⊥CD，则垂足E即为中点，
即有BE=

3

，由于平面BCD⊥平面ACD，则BE⊥平面ACD，
则有BE⊥EF，
在△CEF中，CE=1，CF=2，∠ECF=60°，
则EF²=1+4-2×1×2×cos60°=3，
即有BF²=BE²+EF²=3+3=6，
即有cos∠BCF=

4+4-6

2×2×2

=

1

4

，
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为

1

4

；
（2）取AB的中点H，连接DH，则DH⊥AB，
过D作DO⊥平面ABC，垂足为O，连接OH，易得OH⊥AB，
则∠DHO即为面ABC与面ABD所成的锐二面角的平面角，
连接AE，则BE⊥AE，即有AB²=AE²+BE²=3+1+4-2×1×2×（-

1

2

）=10，
在△ABD中，DH=

BD2-BH2

=

4- 10 4

=

6

2

，
设D到平面ABC的距离为d，
在△ABC中，BC=2，AC=2

3

，AB=

10

，
由余弦定理得，cos∠ABC=

1

2 10

，即有sin∠ABC=

39

2 10

，
则△ABC的面积为

1

2

×

10

×2×

39

2 10

=

39

2

，
由于V_D-ABC=V_B-ACD，即有

1

3

dS_△ABC=

1

3

BE•S_△ACD，
即

1

3

d×

39

2

=

1

3

×

3

×

1

2

×2×2×

3

2

，解得d=

6

39

，
则有sin∠DHO=

DO

DH

=

6

39

×

2

6

=

2 2

13

，
即有cos∠DHO=

65

13

．
故平面ABC与平面ABD所成的锐二面角的余弦值为

65

13

．

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查空间的异面直线所成的角和二面角的求法，考查运算能力和空间想象能力，属于中档题．