Question

函数f（x）=log 

1

2

（1+x）+log 

1

2

（3-x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域；
（Ⅲ）写出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由题意得

1+x＞0 3-x＞0

，求解定义域；
（Ⅱ）f（x）=log

1

2

（x+1）（3-x）=log

1

2

[-（x-1）²+4]，利用单调性及配方法求值域；
（Ⅲ）由（Ⅱ）及复合函数的单调性写出单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）要使函数解析式有意义，
需

1+x＞0 3-x＞0

，
解得{x|-1＜x＜3}．
（Ⅱ）f（x）=log

1

2

（x+1）（3-x）=log

1

2

[-（x-1）²+4]，
∵-1＜x＜3，
∴-（x-1）²+4∈（0，4]，
∴函数f（x）的值域为[-2，+∞）．
（Ⅲ）函数f（x）的单调减区间为（-1，1]，单调增区间为[1，3）．

点评：本题考查了函数的定义域及值域的求法，同时考查了复合函数的单调性，属于中档题．