Question

已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a为任意实数
（1）若函数F（x）=f（x）-g（x）有极值1，求a的值；
（2）若函数G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在区间（0，1）为增函数，求a的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数F（x）=f（x）-g（x）有极值1，即可求a的值；
（2）由函数G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在区间（0，1）为增函数，可得-acos（1-x）+

1

x

≥0在区间（0，1）上恒成立，分离参数求最值，即可求a的范围．

解答： 解：（1）由题意，x＞0，F′（x）=

ax-1

x

①a≤0，F′（x）＜0恒成立，F（x）在（0，+∞）上是减函数，函数无极值；
②a＞0，F′（x）＞0，可得x＞

1

a

，F′（x）＜0，可得x＜

1

a

，
∴x=

1

a

时，取得极小值，
∵函数F（x）=f（x）-g（x）有极值1，
∴1-ln

1

a

=1，∴a=1；
（2）G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）=asin（1-x）+lnx，
∴G′（x）=-acos（1-x）+

1

x

，
∵函数G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在区间（0，1）为增函数，
∴-acos（1-x）+

1

x

≥0在区间（0，1）上恒成立，
∴

1

x

≥acos（1-x）在区间（0，1）上恒成立，
∴a≤

1

xcos(1-x)

在区间（0，1）上恒成立，
令h（x）=xcos（1-x），x∈（0，1），则h′（x）=cos（1-x）+xsin（1-x）＞0，
∴h（x）在区间（0，1）为增函数，
∴0＜xcos（1-x）＜1，
∴

1

xcos(1-x)

＞1，
∴a≤1．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，正确分离参数求最值是关键．