Question

求解析式：
（1）已知f（x）为二次函数，且f（2x+1）+f（2x-1）=16x²-4x+6，求f（x）．
（2）已知f（

x

+1）=x+2

x

，求f（x）．
（3）如果函数f（x）满足方程f（x）+2f（-x）=x，x∈R，求f（x）．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）待定系数法．
（2）这是含未知数f（x）的等式，比较抽象，在函数的定义域和对应法则不变的条件下，自变量变换为其他字母的代数式，对函数本身并无影响．
（3）因为当x∈R时，都有f（x）+2f（-x）=x，所以利用方程思想解得f（x）．

解答： 解：（1）待定系数法：设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
∴f（2x+1）=a（2x+1）²+b（2x+1）+c，
f（2x-1）=a（2x-1）²+b（2x-1）+c，
∴f（2x+1）+f（2x-1）=8ax²+4bx+2a+2c=16x²-4x+6，
∴

8a=16 4b=-4 2a+2c=6

，解得

a=2 b=-1 c=1

；
∴f（x）=2x²-x+1；
（2）方法一：配凑法，
∵f（

x

+1）=x+2

x

=（

x

+1）²-1（

x

+1≥1），
∴f（x）=x²-1（x≥1）；
方法二：换元法，
令

x

+1=t，则x=（t-1）²（t≥1），
∴f（t）=（t-1）²+2

(t-1)2

=t²-1，
∴f（x）=x²-1（x≥1）；
（3）∵f（x）+2f（-x）=x，当x∈R时成立，
用-x替换x得，f（-x）+2f（x）=-x．
得到方程组

f(x)+2f(-x)=x，① f(-x)+2f(x)=-x，②

②×2-①，得3f（x）=-3x，∴f（x）=-x．

点评：（i）配凑法简便易行，但对变形能力、观察能力要求较高，换元法易掌握，但利用这种方法时要注意自变量取值范围的变化情况，否则得不到正确的解析式．
（ii）利用方程思想，采用解方程的方法消去不需要的函数式子，而得到f（x）的表达式，此种方法称为消去法，也称为解方程法．