Question

7．已知函数f（x）在（-1，+∞）上单调，且函数y=f（x-2）的图象关于x=1对称，若数列{a_n}是公差不为0的等差数列，且f（a₅₀）=f（a₅₁），则{a_n}的前100项的和为（　　）

• A． -200
• B． -100
• C． 0
• D． -50

Answer 1

分析 由函数y=f（x-2）的图象关于x=1轴对称，平移可得y=f（x）的图象关于x=-1对称，由题意可得a₅₀+a₅₁=-2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：函数f（x）在（-1，+∞）上单调，且函数y=f（x-2）的图象关于x=1对称，
可得y=f（x）的图象关于x=-1对称，
由数列{a_n}是公差不为0的等差数列，且f（a₅₀）=f（a₅₁），
可得a₅₀+a₅₁=-2，又{a_n}是等差数列，
所以a₁+a₁₀₀=a₅₀+a₅₁=-2，
则{a_n}的前100项的和为$\frac{100（{a}_{1}+{a}_{100}）}{2}$=-100
故选：B．

点评 本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．