Question

5．已知数列{a_n}满足2a${\;}_{n+1}={a}_{n}+{a}_{n+2}（n∈{N}^{+}）$，它的前n项和为S_n，且a₅=5，S₇=28．
（Ⅰ）求数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和T_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=1，b${\;}_{n+1}={b}_{n}+{q}^{{a}_{n}}$（q＞0），求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），知{a_n}是等差数列，利用条件求出数列的通项与前n项和，再利用裂项法求和，即可得到结论；
（Ⅱ）由${b}_{n+1}={b}_{n}+{q}^{{a}_{n}}（q＞0）$，得${b}_{n+1}-{b}_{n}={q}^{n}$，当n≥2时，可得b_n=$\left\{\begin{array}{l}{n（q=1）}\\{\frac{1-{q}^{n}}{1-q}（q≠1）}\end{array}\right.$，验证当n=1时，b₁=1满足上式，即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）由2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N⁺）知{a_n}是等差数列，且a₅=5，S₇=28，
得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=5}\\{{a}_{1}+3d=4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$，
∴a_n=n，
∵${S}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴${T}_{n}=2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$2（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$；
（Ⅱ）由b₁=1，${b}_{n+1}={b}_{n}+{q}^{{a}_{n}}（q＞0）$，得${b}_{n+1}-{b}_{n}={q}^{n}$，
∴当n≥2时，b_n=b₁+（b₂-b₁）+…+（b_n-b_n-1）=1+q+q²+…+q^n-1=$\left\{\begin{array}{l}{n（q=1）}\\{\frac{1-{q}^{n}}{1-q}（q≠1）}\end{array}\right.$．
当n=1时，b₁=1满足上式，故b_n=$\left\{\begin{array}{l}{n（q=1）}\\{\frac{1-{q}^{n}}{1-q}（q≠1）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“裂项求和”，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．