Question

二次函数f（x）的二次项系数为正数，且对任意x∈R都有f（x）=f（4-x）成立，若f（2-a²）＜f（1+a-a²），那么a的取值范围是（　　）

• A、1＜a＜2
• B、a＞1
• C、a＞2
• D、a＜1

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：因为是二次函数，所以从开口、对称轴、图象综合考虑．由对任意x∈R都有f（x）=f（4-x）成立得，对称轴为x=2，结合开口向上，则该函数在（-∞，2）上递减，在（2，+∞）上递增．再判断一下2-a^2_与1+a-a2的范围，最后再根据单调性列出a的不等式求解．

解答： 解：因为该二次函数f（x）的二次项系数为正数，所以图象开口向上；
又对任意x∈R都有f（x）=f（4-x）成立，所以对称轴为x=2；
因此该函数在（-∞，2）上递减，在（2，+∞）上递增，
而2-a²≤2，且1+a-a²=-(a-

1

2

)2+

5

4

＜2；
所以要使f（2-a²）＜f（1+a-a²），
只需2-a²＞1+a-a²，解得a＜1．
故选：D

点评：本题重点考查利用二次函数的图象解决二次不等式的问题，主要是借助图象得到该函数的单调区间，再利用单调性根据函数值的大小构造a的不等式．