Question

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，M，N分别是AB、PC的中点
（1）求证：MN∥平面PAD
（2）求证：平面MND⊥平面PCD
（3）求二面角N-MD-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得PA⊥AB，PA⊥CD，AB⊥AD，建立空间直角坐标系，求出平面PAD的一个法向量为

AB

=(2，0，0)，

MN

=(0，1，1)，由

AB

•

MN

=0，MN?平面PAD，能证明MN∥平面PAD．
（2）求出平面MND的一个法向量和平面PDC的一个法向量，利用向量法能证明平面MND⊥平面PCD．
（3）求出平面MND的一个法向量和平面MBCD的一个法向量，利用向量法能示出二面角N-MD-C的余弦值．

解答： （1）证明：因为PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥CD，又四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD，
如图，建立空间直角坐标系，
因为PA=AD=2，M，N分别是AB，PC的中点
所以P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，2，0），M（1，0，0），N（1，1，1）…（2分）
因为AB⊥AD，PA⊥AB，PA∩AD=A，
所以AB⊥平面PAD，
即平面PAD的一个法向量为

AB

=(2，0，0)，
又

MN

=(0，1，1)，所以

AB

•

MN

=0，
又MN?平面PAD，所以MN∥平面PAD．…（4分）
（2）证明：

MN

=(0，1，1)，

MD

=(-1，2，0)，
设平面MND的一个法向量

n1

=(x1，y1，z1)，
则

MN

•

n1

=0，

MD

•

n1

=0，所以

y1+z1=0 -x1+2y1=0

，
令y₁=1，则x₁=2，z₁=-1，
所以

n1

=(2，1，-1)，

PC

=(2，2，-2)，

PD

=(0，2，-2)，
设平面PDC的一个法向量

n2

=(x2，y2，z2)，
则

PC

•

n2

=0，

PD

•

n2

=0，所以

2x2+2y2-2z2=0 2y2-2z2=0

，
令y₂=1，则x₂=0，z₂=1，所以

n2

=(0，1，1)，
又

n1

•

n2

=2×0+1×1+(-1)×1=0
所以：平面MND⊥平面PCD．…（9分）
（3）解：由（2）可知

n1

=(2，1，-1)是平面MND的一个法向量，
因为PA⊥平面ABCD，
所以

PA

=(0，0，-2)是平面MBCD的一个法向量．

又cos?

n1

，

AP

＞=

n1 • AP

| n1 || AP |

=

2

6 ×2

=

6

6

，
所以二面角N-MD-C的余弦值为

6

6

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理、勾股定理、二面角的求解等基础知识和空间向量的立体几何中的应用，意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．