Question

设函数f（x）=xln（ax）（a＞0）
（Ⅰ）设F（x）=

1

2

f(1)x ²+f'（x），讨论函数F（x）的单调性；
（Ⅱ）过两点A（x₁，f′（x₁）），B（x₂f′（x₂））（x₁＜x₂）的直线的斜率为k，求证：

1

x2

＜k＜

1

x1

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导函数的解析式，化简F（x）=

1

2

f(1)x ²+f'（x），然后求解F（x）的导数，通过导函数的符号，讨论函数F（x）的单调性；
（Ⅱ）求出过两点A（x₁，f′（x₁）），B（x₂f′（x₂））（x₁＜x₂）的直线的斜率k的表达式，利用分析法证明

1

x2

＜k＜

1

x1

．转化为证明1-

1

t

＜lnt＜t-1，通过左右两个不等式，两次构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，利用函数的最值即可证明．

解答： （Ⅰ）解：f′（x）=ln（ax）+1，所以F(x)=

1

2

(lna)x2+ln(ax)+1，
函数F（x）的定义域为（0，+∞），而F′(x)=(lna)x+

1

x

=

(lna)x2+1

x

．
…（2分）
①当lna≥0时，即a≥1时，恒有F′（x）≥0，函数F（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当lna＜0，即0＜a＜1时，令F′（x）＞0，得（lna）x²+1＞0，解得0＜x＜

- 1 lna

；
令F′（x）＜0，得（lna）x²+1＜0，解得x＞

- 1 lna

；
综上，当a≥1时，函数F（x）在（0，+∞）上是增函数；
当0＜a＜1时，函数F（x）在(0，

- 1 lna

)上为增函数，在(

- 1 lna

，+∞)上为减函数．                                           …（5分）
（Ⅱ）证明：k=

f′(x2)-f′(x1)

x2-x1

=

ln(ax2)-ln(ax1)

x2-x1

=

ln x2 x1

x2-x1

，…（6分）
要证

1

x2

＜k＜

1

x1

，因为x₂-x₁＞0，
即证

x2-x1

x2

＜ln

x2

x1

＜

x2-x1

x1

，令t=

x2

x1

，则t＞1，
则只要证1-

1

t

＜lnt＜t-1，…（8分）
①设g（t）=t-1-lnt，则g′(t)=1-

1

t

＞0(t＞1)，
故g（t）在[1，+∞）上是增函数．
所以当t＞1时，g（t）=t-1-lnt＞g（1）=0，即t-1＞lnt成立．  …（10分）
②要证1-

1

t

＜lnt，由于t＞1，即证t-1＜tlnt，
设h（t）=tlnt-（t-1），则h'（t）=lnt＞0（t＞1），
故函数h（t）在[1，+∞）上是增函数，
所以当t＞1时，h（t）=tlnt-（t-1）＞h（1）=0，即t-1＜tlnt成立．
由①②知成立，得证…（12分）

点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的导数判断函数的单调性分析法证明不等式以及构造法的应用，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力，是难题．