题目内容
12．已知函数f（x）=x3-ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若函数f（x）在x=-1和x=3处取得极值，试求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范围．
分析 （1）先求导函数f′（x）=3x2-2ax+b，利用函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，可求a，b；
（2）当x∈[-2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，即转化为f（x）的最小值小于2|c|即可．
解答 解：（1）∵函数f（x）在x=-1和x=3时取极值，∴-1，3是方程3x2-2ax+b=0的两根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+3=\frac{2}{3}a}\\{-1×3=\frac{b}{3}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-9}\end{array}\right.$；
（2）f（x）=x3-3x2-9x+c，f′（x）=3x2-6x-9，当x变化时，有下表
| x | （-∞，-1） | -1 | （-1，3） | 3 | （3，+∞） |
| f’（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↗ | Max c+5 | ↘ | Min c-27 | ↗ |
要使f（x）＜2|c|恒成立，只要c+54＜2|c|即可
当c≥0时，c+54＜2c，∴c＞54，当c＜0时，c+54＜-2c，∴c＜-18
∴c∈（-∞，-18）∪（54，+∞）．
点评 本题主要考查利用导数研究函数的极值，最值，利用最值解决恒成立问题，要注意常规方法．
练习册系列答案
名师指导期末冲刺卷系列答案
相关题目
20．已知f（x）=lnx-e-x，a=2e，b=ln2，c=log2e（其中e为自然对数的底数）则f（a），f（b），f（c）的大小顺序为（ ）
| A． | f（a）＜f（b）＜f（c） | B． | f（a）＜f（c）＜f（b） | C． | f（b）＜f（c）＜f（a） | D． | f（c）＜f（b）＜f（a） |
某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图所示的茎叶图．现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”．
4．若关于x的不等式m＜$\frac{e^x}{{x{e^x}-x+1}}$有且仅有两个整数解，则实数m的取值范围为（ ）
| A． | $（\frac{1}{2e-1}，1）$ | B． | $（\frac{e^2}{{2{e^2}-1}}，1）$ | C． | $[\frac{1}{2e-1}，1）$ | D． | $[\frac{e^2}{{2{e^2}-1}}，1）$ |