Question

2．用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算：
（1）能组成多少个没有重复数字的三位数？
（2）可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？
（3）求2×3×4×6即144的所有正约数的和．（注：每小题结果都写成数据形式）

Answer 1

分析 （1）根据题意，分2步进行分析：①、对于百位，百位数字只能是2、3、4、6中之一，②、百位数字确定后，在剩下的4个数字中选取2个，排在十位和个位，计算出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；
（2）由题意，能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成，据此分4种情况讨论，求出每一步的选法数目，由分类计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分析可得144=2⁴×3²，进而由约数和公式计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，分2步进行分析：
①、对于百位，百位数字只能是2、3、4、6中之一，有C₄¹种选法，
②、百位数字确定后，在剩下的4个数字中选取2个，排在十位和个位，则十位和个位数字的组成共有$A_4^2$种方法，
故可以组成没有重复数字的三位数共有${N_1}=C_4^1A_4^2=48$个；
（2）由题意，能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成．
分4种情况讨论：
①、三位数由2、4、0组成，首位数字有2、4两种情况，在剩下的3个数字中选取2个，排在十位和个位，此时共有C₂¹A₂²种选法；
②、三位数由2、4、3组成，将3个数字全排列，排在百位、十位和个位，此时有A₃³种选法；
③、三位数由2、4、6组成，将3个数字全排列，排在百位、十位和个位，此时有A₃³种选法；
④、三位数由0、3、6组成，首位数字有3、6两种情况，在剩下的3个数字中选取2个，排在十位和个位，此时共有C₂¹A₂²种选法；
共有${N_2}=C_2^1A_2^2+2A_3^3+C_2^1A_2^2=20$个被3整除的没有重复数字的三位数，
（3）根据题意，144=2⁴×3²，
则144的所有正约数的和为${N_3}=（1+2+{2^2}+{2^3}+{2^4}）（1+3+{3^2}）=403$．

点评 本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理、分类计数原理的应用，（3）的关键是正确运用约数和公式．