Question

1．已知a为实数，f（x）=（x²-4）（x-a）
（1）求导数f′（x）；
（2）若x=-1是f（x）的极值点，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）将f（x）的表达式展开，求出f（x）的导函数即可；
（2）根据f′（-1）=0，求出a的值，从而求出函数f（x）的单调区间，求出函数的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）由原式得f（x）=x³-ax²-4x+4a，
∴f'（x）=3x²-2ax-4．
（2）由f'（-1）=0得a=$\frac{1}{2}$，
此时有f（x）=（x²-4）（x-$\frac{1}{2}$），f′（x）=3x²-x-4，
由f'（x）=0得x=$\frac{4}{3}$或x=-1，
故f（x）在[-2，-1）递增，在（-1，$\frac{4}{3}$）递减，在（$\frac{4}{3}$，2]递增，
又f（$\frac{4}{3}$）=-$\frac{50}{27}$，f（-1）=$\frac{9}{2}$，f（-2）=0，f（2）=0，
所以f（x）在[-2，2]上的最大值为$\frac{9}{2}$，最小值为-$\frac{50}{27}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．