Question

4．若关于x的不等式m＜$\frac{e^x}{{x{e^x}-x+1}}$有且仅有两个整数解，则实数m的取值范围为（　　）

• A． $（\frac{1}{2e-1}，1）$
• B． $（\frac{e^2}{{2{e^2}-1}}，1）$
• C． $[\frac{1}{2e-1}，1）$
• D． $[\frac{e^2}{{2{e^2}-1}}，1）$

Answer 1

分析 构造函数f（x）=$\frac{e^x}{{x{e^x}-x+1}}$，利用导数求出函数的单调区间，在根据两个函数的图象得到不等式关系进行求解即可

解答 解：令f（x）=$\frac{e^x}{{x{e^x}-x+1}}$，f′（x）=$\frac{{e}^{x}（2-x-{e}^{x}）}{（x{e}^{x}-x+1）^{2}}$，
令f′（x）=0⇒2-x-e^x=0，令g（x）=2-x-e^x，g′（x）=-1-e^x＜0，恒成立，所以g（x）单调递减，由因为g（0）＞0，g（1）＜0
所以存在x₀∈（0，1）使f′（x₀）=0，∴x∈（-∞，x₀），f（x）递增，x∈（，x_0，^+∞），f（x）递减，
若m＜f（x）解集中的整数恰为2个，
则x=0，1是解集中的2个整数，
故只需$\left\{\begin{array}{l}{m＜f（0）=1}\\{m＜f（1）=1}\\{m≥f（2）=\frac{{e}^{2}}{2{e}^{2}-1}}\\{m≥f（-1）=\frac{1}{2e-1}}\end{array}\right.$⇒$\frac{{e}^{2}}{2{e}^{2}-1}≤m＜1$．
故选：D．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据不等式整数根的个数，结合数形结合建立不等式关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．