Question

20．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+ax+b（a，b∈R）$在x=2处取得极小值$-\frac{4}{3}$．
（1）求f（x）；
（2）若$\frac{1}{3}{x^3}+ax+b≤{m^2}+m+\frac{10}{3}$对x∈[-4，3]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导函数利用f′（2）=0，得a；在x=2处取得极小值-$\frac{4}{3}$，得b．然后求出f（x）的解析式即可；
（2）求出函数的最值，要使f（x）≤m²+m+$\frac{10}{3}$在[-4，3]上恒成立，只需m²+m+$\frac{10}{3}$≥$\frac{28}{3}$，求解即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²+a，由f′（2）=0，得a=-4；
再由f（2）=-$\frac{4}{3}$，得b=4，
所以f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4；
（2）因为f（-4）=-$\frac{4}{3}$，f（-2）=$\frac{28}{3}$，f（2）=-$\frac{4}{3}$，
f（3）=1，所以函数f（x）在[-4，3]上的最大值为$\frac{28}{3}$，
要使f（x）≤m²+m+$\frac{10}{3}$在[-4，3]上恒成立，
只需m²+m+$\frac{10}{3}$≥$\frac{28}{3}$，解得m≥2或m≤-3．
所以实数m的取值范围是（-∞，-3]∪[2，+∞）．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的最值以及函数的单调性的求解，考查分析问题解决问题的能力．