Question

【题目】已知函数；

（1）若，求证： 在上单调递增；

（2）若，试讨论零点的个数.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）当时， 没有零点； 时， 有一个零点； 时， 有两个零点.

【解析】试题分析：（1）时， ， ，要证在上单调递增，只要证： 对恒成立，只需证明（当且仅当时取等号）． （当且仅当时取等号），即可证明；

（2）求函数的导数，根据函数极值和导数的关系，分 讨论，即可判断函数零点的个数．

试题解析：（1）时， ， ，

要证在上单调递增，只要证： 对恒成立，

令，则，当时， ，

当时， ，故在上单调递减，在上单调递增，

所以，即（当且仅当时等号成立），

令，则，

当时， ，当时， ，故在（0，1）上单调递减，在上单调递增，所以，即（当且仅当时取等号），

（当且仅当时等号成立）

在上单调递增.

（2）由有，显然是增函数，

令，得， ， ，

则时， ， 时， ，

∴在上是减函数，在上是增函数，

∴有极小值， ，

①当时， ， ， 有一个零点1；

②时， ， ， 没有零点；

③当时， ， ，又，

又对于函数， 时，

∴当时， ，即，

∴ ，

令，则，

∵，∴，∴，∴，

又， ，∴有两个零点，

综上，当时， 没有零点； 时， 有一个零点； 时， 有两个零点.