Question

【题目】已知在直角梯形中， ， ，将沿折起至，使二面角为直角.

(1)求证：平面平面；

(2)若点满足, ，当二面角为45°时，求的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）要证平面平面，转证平面即可；（2）建立空间直角坐标系计算平面的法向量，利用二面角为45°建立等量关系求出的值.

试题解析：

(1)梯形中，

∵∴.

又∵,

∴,∴.

∴.

折起后，∵二面角为直角，

∴平面平面.

又平面平面,

∴平面.

又平面，

∴.

又∵,

∴平面.

又∵平面，∴平面平面.

(2)由(1)知， 平面，∴以为原点， 方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则,

设，由,

得，得.

取线段的中点，连结，

则,

∵,∴.

又∵,

∴平面.

∴平面的一个法向量为.

设平面的一个法向量为，

则

取，则.

∴，

即或.

∵，∴.