Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{sinx}$，0），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{cosx}$，$\sqrt{3}$），|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的取值范围是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． （-∞，$\sqrt{2}$+1]
• C． [1，2$\sqrt{2}$]
• D． [2，$\sqrt{2}$+1]

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{sinx}$+$\sqrt{cosx}$，$\sqrt{3}$），不妨取x∈$[0，\frac{π}{2}]$．可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{sinx+cosx+2\sqrt{sinxcosx}+3}$．令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$$sin（x+\frac{π}{4}）$∈$[1，\sqrt{2}]$．可得sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，于是sinx+cosx+2$\sqrt{sinxcosx}$+3=t+2$\sqrt{\frac{{t}^{2}-1}{2}}$+3=f（t），可知f（t）关于t∈$[1，\sqrt{2}]$单调递增．即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{sinx}$+$\sqrt{cosx}$，$\sqrt{3}$），不妨取x∈$[0，\frac{π}{2}]$．
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（\sqrt{sinx}+\sqrt{cosx}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{sinx+cosx+2\sqrt{sinxcosx}+3}$，
令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$$sin（x+\frac{π}{4}）$∈$[1，\sqrt{2}]$．
∴t²=1+2sinxcosx，解得sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴sinx+cosx+2$\sqrt{sinxcosx}$+3=t+2$\sqrt{\frac{{t}^{2}-1}{2}}$+3=f（t），
可知f（t）关于t∈$[1，\sqrt{2}]$单调递增．
f（1）=4，f（$\sqrt{2}$）=3+2$\sqrt{2}$，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的取值范围是$[2，\sqrt{2}+1]$．
故选：D．

点评 本题考查了向量的数量积运算性质、“换元法”、同角三角函数基本关系式、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．