题目内容
10.在△ABC中,b是a与3c的等比中项,且C-A=$\frac{π}{2}$,则B=$\frac{π}{3}$.分析 由C-A=$\frac{π}{2}$,可得$C=A+\frac{π}{2}$,A=π-(C+B),化为2A=$\frac{π}{2}$-B,sinC=sin$(A+\frac{π}{2})$=cosA.由b是a与3c的等比中项,可得b2=3ac,利用正弦定理可得:sin2B=3sinAsinC,代入化简可得1-cos2B=$\frac{3}{2}cosB$,解出即可.
解答 解:∵C-A=$\frac{π}{2}$,
∴$C=A+\frac{π}{2}$,
A=π-(C+B)
=$π-(A+\frac{π}{2}+B)$,
化为2A=$\frac{π}{2}$-B,
∴sinC=sin$(A+\frac{π}{2})$=cosA
∵b是a与3c的等比中项,
∴b2=3ac,
∴sin2B=3sinAsinC,
∴sin2B=3sinAcosA=$\frac{3}{2}sin2A$=$\frac{3}{2}sin(\frac{π}{2}-B)$=$\frac{3}{2}cosB$,
∴1-cos2B=$\frac{3}{2}cosB$,
化为2cos2B+3cosB-2=0,
解得cosB=$\frac{1}{2}$,cosB=-2(舍去).
∵B∈(0,π),
∴B=$\frac{π}{3}$.
点评 本题了考查了等比数列的性质、正弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形内角和定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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