题目内容
4.设△ABC的内角A,B,C所对的边长为a,b,c,且$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$,则sinA的最大值为 ( )A. | $\frac{\sqrt{15}}{8}$ | B. | $\frac{\sqrt{15}}{6}$ | C. | $\frac{\sqrt{5}}{8}$ | D. | $\frac{\sqrt{5}}{6}$ |
分析 由$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$,可得a=$\frac{bc}{b+c}$≤$\frac{1}{2}\sqrt{bc}$,利用余弦定理及基本不等式,可求得cosA≥$\frac{7}{8}$,从而可得sinA的最大值.
解答 解:∵$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$,
∴a=$\frac{bc}{b+c}$≤$\frac{1}{2}\sqrt{bc}$,当且仅当b=c时取等号.
两边平方可得:a2≤$\frac{1}{4}$bc,
由余弦定理可得:b2+c2-2bccosA≤$\frac{1}{4}$bc,
∴2bc-2bccosA≤$\frac{1}{4}$bc,
化为cosA≥$\frac{7}{8}$,
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$≤$\sqrt{1-(\frac{7}{8})^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$.
故选:A.
点评 本题考查了余弦定理、基本不等式、同角三角函数基本关系式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | [2,+∞) | B. | (-∞,$\sqrt{2}$+1] | C. | [1,2$\sqrt{2}$] | D. | [2,$\sqrt{2}$+1] |