Question

4．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，D为棱BC的中点，AB=AC，BC=$\sqrt{2}A{A_1}$，求证：
（1）A₁C∥平面ADB₁；
（2）BC₁⊥平面ADB₁．

Answer 1

分析 （1）如图，连接A₁B交AB₁于M，可得DM∥A₁C，即可证得A₁C∥平面ADB₁，
（2）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，可得AD⊥BB₁，即可得AD⊥BC₁，在矩形BCC₁B₁中，由△BDB₁∽△B₁BC₁，可得$∠{C}_{1}B{B}_{1}+∠B{B}_{1}D=9{0}^{0}$．即可得BC₁⊥DB₁，BC₁⊥平面ADB₁．

解答 解：（1）证明：如图，连接A₁B交AB₁于M，
则M为A₁B中点，连接DM，
∵D为棱BC的中点，∴DM∥A₁C，
又A₁C?平面ADB₁，DM?平面ADB₁
∴A₁C∥平面ADB₁，

（2）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，可得AD⊥BB₁
∵D为棱BC的中点，AB=AC，∴AD⊥面BCC₁B₁，即AD⊥BC₁，
在矩形BCC₁B₁中，∵BC=$\sqrt{2}A{A_1}$，∴$\frac{B{B}_{1}}{DB}=\sqrt{2}，\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{B{B}_{1}}=\sqrt{2}$
∴△DBB₁∽△BB₁C₁⇒∠BDB₁=∠B₁BC₁，∠BB₁D=∠BC₁B₁，即$∠{C}_{1}B{B}_{1}+∠B{B}_{1}D=9{0}^{0}$．
∴BC₁⊥DB₁，且AD∩DB₁=D，∴BC₁⊥平面ADB₁．

点评 本题考查了空间线面平行的判定，线面垂直的判定，属于中档题．