Question

有如下命题：
①若sin2A=sin2B，则A=B；
②已知函数f（x）=

21-x  x≤1 1-log2x   x＞1

．若f（x）≤2，则x∈[0，+∞）；
③若sin²A+sin²B+cos²C＜1，则△ABC一定为钝角三角形；
④已知数列{a_n}，a₁=32，a_n+1-a_n=2n，则

an

n

最小值是

52

5

．
则其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：对于①，举反例说明命题错误；
对于②，分段求出不等式的解集，取并集得到满足f（x）≤2的x的集合，说明命题正确；
对于③，已知不等式变形后利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示确定出C为钝角，即可做出判断；
对于④，用累加法求出数列的通项公式，然后代入

an

n

，利用基本不等式求出最小值说明命题错误．

解答： 解：对于①，若A=30°，B=60°，满足sin2A=sin2B，但A≠B，
故命题①错误；
对于②，由f（x）=

21-x  x≤1 1-log2x   x＞1

，
当x≤1时，
由f（x）≤2，得2^1-x≤2，解得：x≥0，此时不等式解集为[0，1]；
当x＞1时，
由f（x）≤2，得1-log₂x≤2，解得x≥

1

2

，此时不等式的解集为（1，+∞）．
∴若f（x）≤2，则x∈[0，+∞）．
故命题②正确；
对于③，由sin²A+sin²B+cos²C＜1可得sin²A+sin²B＜sin²C，
由正弦定理可得a²+b²＜c²，
再由余弦定理可得cosC＜0，C为钝角．
故命题③正确；
对于④，在数列{a_n}中，
由a_n+1-a_n=2n，a₁=32，得：
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=32+2（2+3+…+n）=n²+n+30．
则

an

n

=n+

30

n

+1，当n=5或n=6时有最小值12．
故命题④错误．
∴正确命题的序号是②③．
故答案为：②③．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了由分段函数求解不等式，训练了累加法求数列的通项公式，考查了利用基本不等式求函数的最值，是中档题．