题目内容
已知函数f（x）=x-
．
（1）用函数单调性的定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）求函数f（x）在[3，6]上的最小值和最大值．
| 1 |
| x |
（1）用函数单调性的定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）求函数f（x）在[3，6]上的最小值和最大值．
考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：（1）设x1＜x2＜0，则f（x1）-f（x2）=
，结合已知可判断f（x1）＞f（x2），从而可证．
（2）由（1）知函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，函数f（x）在[3，6]上是增函数，故最值在端点处取．
| (x1-x2)(1+x1x2) |
| x1x2 |
（2）由（1）知函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，函数f（x）在[3，6]上是增函数，故最值在端点处取．
解答：
解：（1）证明：设x1＜x2＜0，
则f（x1）-f（x2）=x1-
-x2+
=（x1-x2）+（
-
）
=（x1-x2）+
=
，
∵x1＜x2＜0，
∴x1-x2＜0，x1x2＞0，1+x1x2＞0
∴
＜0
即f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调递增．
（2）由（1）知函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
∴函数f（x）在[3，6]上是增函数；
∴ymax=f(6)=
，ymin=f(3)=
．
则f（x1）-f（x2）=x1-
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x1 |
=（x1-x2）+
| x1-x2 |
| x1x2 |
| (x1-x2)(1+x1x2) |
| x1x2 |
∵x1＜x2＜0，
∴x1-x2＜0，x1x2＞0，1+x1x2＞0
∴
| (x1-x2)(1+x1x2) |
| x1x2 |
即f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调递增．
（2）由（1）知函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
∴函数f（x）在[3，6]上是增函数；
∴ymax=f(6)=
| 35 |
| 6 |
| 8 |
| 3 |
点评：本题主要考查了函数的单调性的定义在证明函数的单调性中的应用
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