Question

5．设变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+2y≤3}\\{4x-y≥-6}\end{array}\right.$，则z=2^x-3y的取值范围为[$\frac{1}{128}$，16]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，设m=x-3y，利用m的几何意义求出m的取值范围即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设m=x-3y得y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{m}{3}$，
平移直线y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{m}{3}$，由图象可知当直线y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{m}{3}$经过点A时，直线y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{m}{3}$的截距最大，
此时m最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=3}\\{4x-y=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（-1，2），
代入目标函数m=x-3y得z=-1-3×2=-7．
可知当直线y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{m}{3}$经过点B时，直线y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{m}{3}$的截距最小，
此时m最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{4x-y=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，即B（-2，-2），
代入目标函数m=x-3y得z=-2-3×（-2）=4．
即-7≤m≤4，
则2^-7≤z≤2⁴，
即$\frac{1}{128}$≤z≤16，
故答案为：[$\frac{1}{128}$，16]

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．