题目内容
12．设m，n∈N，若A（m，0），B（0，n），C（1，3）三点共线，则m，n的值是$\left\{\begin{array}{l}{n=6}\\{m=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{m=4}\end{array}\right.$．
分析 对m，n分类讨论，利用三点共线与斜率的关系即可得出．
解答 解：①当m=0时，A，B，C三点不共线，舍去；
②当m=1时，A，B，C三点不共线，舍去；
③当m≠0，1时，
kAB=$\frac{n}{-m}$，kCA=$\frac{3}{1-m}$．
∵A，B，C三点共线，
∴$\frac{n}{-m}$=$\frac{3}{1-m}$，
当n=3时，m不存在，舍去．
∴n≠3，
化为$m=\frac{n}{n-3}$=1+$\frac{3}{n-3}$为自然数，
可得n=0，4，2，6．
而n=0，2，时，舍去．
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=6}\\{m=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{m=4}\end{array}\right.$．
综上可得：$\left\{\begin{array}{l}{n=6}\\{m=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{m=4}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{n=6}\\{m=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{m=4}\end{array}\right.$．
点评 本题考查了三点共线与斜率的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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| A． | -$\frac{7\sqrt{2}}{10}$ | B． | $\frac{\sqrt{2}}{10}$ | C． | -$\frac{\sqrt{2}}{10}$ | D． | $\frac{7\sqrt{2}}{10}$ |
