Question

已知点A、B在

x2

3

+y²=1上，若

F1A

=5

F2B

，则点A的坐标为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：联立消去x得：（t²+3）y²+2

2

ty-1=0根据韦达定理得出y₁+y₂=

-2 2 t

t2+3

（1）
y₁•y₂=-

1

t2+3

（2），再结合向量求解即可．

解答： 解：椭圆焦点F₁（-

2

，0）F₂（√

2

，0）；
AB：x=ty+

2

与

x2

3

+y²=1即：（t²+3）y²+2

2

ty-1=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
y₁+y₂=

-2 2 t

t2+3

（1）
y₁•y₂=-

1

t2+3

（2）
∵向量

F1A

=5

F2B

，
∴y₁=-5y₂ 代入（1）（2）：
-4y₂=-

2 2 t

t2+3

（3）
-5

y

2 2

=-

1

t2+3

（4）
（3）式平方除以（4）：t²=2，t=±

2

y₂=

1

5

或，y₂=-

1

5

∴y₁=-1，x₁=0
或 y₁=1，x₁=0
∴A（0，-1）或A（0，1）
故答案为：A（0，-1）或A（0，1）

点评：本题考察了椭圆的简单几何性质，方程的运用，韦达定理，属于综合题，难度较大．