Question

设a b c分别是△ABC的三个内角ABC所对的边，则a²=b（b+c）是A=2B的（　　）

• A、既不充分也不必要条件
• B、充分而不必要条件
• C、必要而不充分条件
• D、充要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：解三角形,简易逻辑

分析：先利用正弦定理把题设等式中的边的问题转化成角的正弦，利用二倍角公式化简整理求得sin（A+B）sin（A-B）=
sinBsin（A+B），进而推断出sin（A-B）=sinB．求得A=2B，运用充分必要条件的定义判断．

解答： 解：由正弦定理可知，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a²=b（b+c）中，
得sin²A=sinB（sinB+sinC）
∴sin²A-sin²B=sinBsinC
∴

1-cos2A

2

-

1-COS2B

2

=sinBsin（A+B）
∴

1

2

（cos2B-cos2A）=sinBsin（A+B）
∴sin（A+B）sin（A-B）=sinBsin（A+B），
因为A、B、C为三角形的三内角，
所以sin（A+B）≠0．所以sin（A-B）=sinB．
所以只能有A-B=B，即A=2B．
∵A=2B．
∴逆推可得a²=b（b+c）
根据充分必要条件的定义判断：a²=b（b+c）是A=2B的充分必要条件．
故选D

点评：本题主要考查了正弦定理了的应用．研究三角形问题一般有两种思路．一是边化角，二是角化边．而正弦定理和余弦定理是完成这种转化的关键．