Question

17．设函数f（x）=x³-3x²-ax+5-a，若存在唯一的正整数x₀，使得f（x₀）＜0，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{3}$）
• B． （$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{4}$]
• C． （$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{2}$]
• D． （$\frac{5}{4}$，$\frac{3}{2}$]

Answer 1

分析 设g（x）=x³-3x²+5，h（x）=a（x+1），在同一个坐标系中画出它们的图象，结合图象找出满足条件的不等式组解之即可．

解答 解：设g（x）=x³-3x²+5，h（x）=a（x+1），
两个函数图象如图：要使存在唯一的正整数x₀，
使得f（x₀）＜0，只要$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥h（1）}\\{g（2）＜h（2）}\\{g（3）≥h（3）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-3+5≥2a}\\{8-12+5＜3a}\\{27-27+5≥4a}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{3}$＜a$≤\frac{5}{4}$；
故选B．

点评 本题考查了函数图象以及不等式整数解问题；关键是将问题转化为两个函数图象交点问题；属于难题．