Question

2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos²B-cos²A=sinC（sinC-sinB）．
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式后，利用余弦定理可求cosA，结合A的范围即可得解．
（2）利用基本不等式可求得ab的最大值，结合余弦定理可求a的最小值，由三角形两边之和大于第三边可求a的最大值，即可得解．

解答 解：（1）∵cos²B-cos²A=（1-sin²B）（1-sin²A）=sinC（sinC-sinB）．
∴sin²A-sin²B=sin²C-sinBsinC，
∴结合正弦定理可得：a²-b²=c²-bc，整理可得：c²+b²-a²=bc，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴结合0＜A＜π，解得：A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵b+c=1，A=$\frac{π}{3}$．
∴bc≤（$\frac{b+c}{2}$）2=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时取等号，
∴a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=1-3bc≥1-3×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，解得：a$≥\frac{1}{2}$，
又∵a＜b+c=1，
∴解得：$\frac{1}{2}≤$a＜1．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式的应用，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．