题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点为F，点E(
a2
c
，0)在x轴上，若椭圆的离心率e=
2
2
，且|EF|=1．
（1）求a，b的值；
（2）若过F的直线交椭圆于A，B两点，且
OA
+
OB
与向量
m
=(4，-
2
)共线（其中O为坐标原点），求证：
OA
与
OB
的夹角为
π
2
．
（1）由题意知
c
a
=
2
2
，
a2
c
-c=1，解得a=
2
，c=1，从而b=1．
（2）由（1）知F（1，0），显然直线不垂直于x轴，
可设直线AB：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），
则
y=k(x-1)
x2
2
+y2=1
消去y，得（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0，
则x1+x2=
4k2
1+2k2
，x1x2=
2(k2-1)
1+2k2
，y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=
-2k
1+2k2
，
于是
OA
+
OB
=(
4k2
1+2k2
，-
2k
1+2k2
)，
依题意：
4k2
1+2k2
4
=
-2k
1+2k2
-
2
，故k=
2
，或k=0(舍)
又y1y2=k(x1-1)k(x2-1)=-
k2
1+2k2
，
故
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=0，所以
OA
与
OB
的夹角为90°
练习册系列答案
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
1
2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
PF1
•
PA
的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
AH
2=
MH
•
HN
，求证：直线l恒过定点．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
3
2
，且经过点M（2，1），直线y=
1
2
x+m(m＜0)与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．
（2013•威海二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
6
3
，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
ND
•
MP
AB
2
为定值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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