题目内容
（2013•威海二模）已知椭圆
+
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
为定值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
| ||||
|
分析：（Ⅰ）由e=
得
=
，由过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
+2，得（a+c）•
=
+2，结合a2=b2+c2求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出过M点的直线方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出A，B两点的横坐标的和与积，由判别式大于0求出斜率k的范围，由中点坐标公式得到N点的坐标，求出直线NP的方程，取x=0得到P点坐标，求出向量
，
，
的坐标后直接代入
化简运算．
| ||
| 3 |
| c |
| a |
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| b2 |
| a |
2
| ||
| 3 |
（Ⅱ）设出过M点的直线方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出A，B两点的横坐标的和与积，由判别式大于0求出斜率k的范围，由中点坐标公式得到N点的坐标，求出直线NP的方程，取x=0得到P点坐标，求出向量
| ND |
| MP |
| AB |
| ||||
|
解答：（Ⅰ）解：由题意可得
，解得
，
∴椭圆的标准方程为
+
=1．
（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线与椭圆的方程
，整理得（3k2+1）x2+12kx+6=0．
∵直线AB与椭圆有两个公共点，∴△=（12k）2-4（3k2+1）•6＞0?3k2-1＞0
∴k＞
或k＜-
．
由x1+x2=
，x1x2=
．
得|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k2)[
-
]
=
．
设N（x'，y'），则x′=
=
，y′=kx′+2=
∴直线NP的方程y-
=-
(x+
)，
令x=0，得yP=
，
∴
=(0，
)，
=(0，
)．
∴
=
=-
．即为定值
|
|
∴椭圆的标准方程为
| x2 |
| 6 |
| y2 |
| 2 |
（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线与椭圆的方程
|
∵直线AB与椭圆有两个公共点，∴△=（12k）2-4（3k2+1）•6＞0?3k2-1＞0
∴k＞
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
由x1+x2=
| -12k |
| 3k2+1 |
| 6 |
| 3k2+1 |
得|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k2)[
144
| ||
| (3k2+1)2 |
| 24 |
| 1+3k2 |
=
| 24(1+k2)(3k2-1) |
| (1+3k2)2 |
设N（x'，y'），则x′=
| x1+x2 |
| 2 |
| -6k |
| 3k2+1 |
| 2 |
| 3k2+1 |
∴直线NP的方程y-
| 2 |
| 1+3k2 |
| 1 |
| k |
| 6k |
| 1+3k2 |
令x=0，得yP=
| -4 |
| 1+3k2 |
∴
| ND |
| 3k2-1 |
| 1+3k2 |
| MP |
| -6k2-6 |
| 1+3k2 |
∴
| ||||
|
| -6(1+k2)(3k2-1) |
| 24(1+k2)(3k2-1) |
| 1 |
| 4 |
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了平面向量的数量积运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，解答此题的关键是把三个向量的坐标都用直线的斜率k表示，体现了整体运算思想，是难题．
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