题目内容

(2013•威海二模)已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为e=
6
3
,过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点,且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点M(0,2),直线l:y=1,过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点,若N为AB的中点,D为N在直线l上的射影,AB的中垂线与y轴交于点P.求证:
ND
MP
AB
2
为定值.
分析:(Ⅰ)由e=
6
3
c
a
=
6
3
,由过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点,且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2
,得(a+c)
b2
a
=
2
6
3
+2
,结合a2=b2+c2求得a,b的值,则椭圆方程可求;
(Ⅱ)设出过M点的直线方程,和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程,利用根与系数关系求出A,B两点的横坐标的和与积,由判别式大于0求出斜率k的范围,由中点坐标公式得到N点的坐标,求出直线NP的方程,取x=0得到P点坐标,求出向量
ND
MP
AB
的坐标后直接代入
ND
MP
AB
2
化简运算.
解答:(Ⅰ)解:由题意可得
c
a
=
6
3
(a+c)•
b2
a
=
2
6
3
+2
a2=b2+c2
,解得
a=
6
b=
2

∴椭圆的标准方程为
x2
6
+
y2
2
=1

(Ⅱ)证明:设直线AB的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立直线与椭圆的方程
x2
6
+
y2
2
=1
y=kx+2
,整理得(3k2+1)x2+12kx+6=0.
∵直线AB与椭圆有两个公共点,∴△=(12k)2-4(3k2+1)•6>0?3k2-1>0
k>
3
3
k<-
3
3

x1+x2=
-12k
3k2+1
x1x2=
6
3k2+1

|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k2)[
144
k
2
 
(3k2+1)2
-
24
1+3k2
]

=
24(1+k2)(3k2-1)
(1+3k2)2

设N(x',y'),则x′=
x1+x2
2
=
-6k
3k2+1
,y′=kx′+2=
2
3k2+1


∴直线NP的方程y-
2
1+3k2
=-
1
k
(x+
6k
1+3k2
)

令x=0,得yP=
-4
1+3k2


ND
=(0,
3k2-1
1+3k2
),
MP
=(0,
-6k2-6
1+3k2
)


ND
MP
AB
2
=
-6(1+k2)(3k2-1)
24(1+k2)(3k2-1)
=-
1
4
.即为定值
点评:本题考查了椭圆的标准方程,考查了平面向量的数量积运算,考查了直线和圆锥曲线的关系,解答此题的关键是把三个向量的坐标都用直线的斜率k表示,体现了整体运算思想,是难题.
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