题目内容
(2013•威海二模)已知椭圆
+
=1(a>b>0)的离心率为e=
,过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点,且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
+2.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点M(0,2),直线l:y=1,过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点,若N为AB的中点,D为N在直线l上的射影,AB的中垂线与y轴交于点P.求证:
为定值.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
3 |
2
| ||
3 |
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点M(0,2),直线l:y=1,过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点,若N为AB的中点,D为N在直线l上的射影,AB的中垂线与y轴交于点P.求证:
| ||||
|
分析:(Ⅰ)由e=
得
=
,由过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点,且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
+2,得(a+c)•
=
+2,结合a2=b2+c2求得a,b的值,则椭圆方程可求;
(Ⅱ)设出过M点的直线方程,和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程,利用根与系数关系求出A,B两点的横坐标的和与积,由判别式大于0求出斜率k的范围,由中点坐标公式得到N点的坐标,求出直线NP的方程,取x=0得到P点坐标,求出向量
,
,
的坐标后直接代入
化简运算.
| ||
3 |
c |
a |
| ||
3 |
2
| ||
3 |
b2 |
a |
2
| ||
3 |
(Ⅱ)设出过M点的直线方程,和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程,利用根与系数关系求出A,B两点的横坐标的和与积,由判别式大于0求出斜率k的范围,由中点坐标公式得到N点的坐标,求出直线NP的方程,取x=0得到P点坐标,求出向量
ND |
MP |
AB |
| ||||
|
解答:(Ⅰ)解:由题意可得
,解得
,
∴椭圆的标准方程为
+
=1.
(Ⅱ)证明:设直线AB的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立直线与椭圆的方程
,整理得(3k2+1)x2+12kx+6=0.
∵直线AB与椭圆有两个公共点,∴△=(12k)2-4(3k2+1)•6>0?3k2-1>0
∴k>
或k<-
.
由x1+x2=
,x1x2=
.
得|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k2)[
-
]
=
.
设N(x',y'),则x′=
=
,y′=kx′+2=
∴直线NP的方程y-
=-
(x+
),
令x=0,得yP=
,
∴
=(0,
),
=(0,
).
∴
=
=-
.即为定值
|
|
∴椭圆的标准方程为
x2 |
6 |
y2 |
2 |
(Ⅱ)证明:设直线AB的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立直线与椭圆的方程
|
∵直线AB与椭圆有两个公共点,∴△=(12k)2-4(3k2+1)•6>0?3k2-1>0
∴k>
| ||
3 |
| ||
3 |
由x1+x2=
-12k |
3k2+1 |
6 |
3k2+1 |
得|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k2)[
144
| ||
(3k2+1)2 |
24 |
1+3k2 |
=
24(1+k2)(3k2-1) |
(1+3k2)2 |
设N(x',y'),则x′=
x1+x2 |
2 |
-6k |
3k2+1 |
2 |
3k2+1 |
∴直线NP的方程y-
2 |
1+3k2 |
1 |
k |
6k |
1+3k2 |
令x=0,得yP=
-4 |
1+3k2 |
∴
ND |
3k2-1 |
1+3k2 |
MP |
-6k2-6 |
1+3k2 |
∴
| ||||
|
-6(1+k2)(3k2-1) |
24(1+k2)(3k2-1) |
1 |
4 |
点评:本题考查了椭圆的标准方程,考查了平面向量的数量积运算,考查了直线和圆锥曲线的关系,解答此题的关键是把三个向量的坐标都用直线的斜率k表示,体现了整体运算思想,是难题.
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