题目内容
已知椭圆| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
| PF1 |
| PA |
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
| AH |
| MH |
| HN |
分析：（ I）由题意可得到：c=1，a=2，b=
从而写出椭圆的标准方程；
（II）设P（x0，y0）利用向量的数量积即可坟得
•
，再结合椭圆方程得-2≤x≤2，利用二次函数的图象与性质即可求得
•
的取值范围；
（III）先将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的数量积公式即可求得m值，从而解决问题．
| 3 |
（II）设P（x0，y0）利用向量的数量积即可坟得
| PF1 |
| PA |
| PF1 |
| PA |
（III）先将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的数量积公式即可求得m值，从而解决问题．
解答：解：（ I）由题意得c=1，a=2，b=
+
=1（4分）
（II）设P（x0，y0），A（-2，0），F1（-1，0）
•
=(-1-x0)(-2-x0)+
=
x2+3x+5
由椭圆方程得-2≤x≤2，二次函数开口向上，对称轴x=-6＜-2
当x=-2时，取最小值0，
当x=2时，取最大值12
•
的取值范围是[0，12]（9分）
（III）
，(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0
由△＞0得4k2+3＞m2※
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
，
•
=(
+
)•(
+
)=
2+
•
+
•
+
•
=0
∴（x1+2）（x2+2）+y1y2=0
即（1+k2）x1x2+（2+km）（x1+x2）+4+m2=0
∴4k2-16km+7m2=0k=
m或k=
m均适合※（12分）
当k=
m时，直线过A，舍去，故k=
m
当k=
m时，直线y=kx+
k过定点(-
，0)（13分）
| 3 |
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（II）设P（x0，y0），A（-2，0），F1（-1，0）
| PF1 |
| PA |
| y | 2 0 |
| 1 |
| 4 |
由椭圆方程得-2≤x≤2，二次函数开口向上，对称轴x=-6＜-2
当x=-2时，取最小值0，
当x=2时，取最大值12
| PF1 |
| PA |
（III）
|
由△＞0得4k2+3＞m2※
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
| -8km |
| 3+4k2 |
| 4m2-12 |
| 3+4k2 |
| AM |
| AN |
| AH |
| HM |
| AH |
| HN |
| AH |
| AH |
| HN |
| HM |
| AH |
| HM |
| HN |
∴（x1+2）（x2+2）+y1y2=0
即（1+k2）x1x2+（2+km）（x1+x2）+4+m2=0
∴4k2-16km+7m2=0k=
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
当k=
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
当k=
| 7 |
| 2 |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
| 7 |
点评：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力．本题为中档题，需要熟练运用设而不求韦达定理．
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