Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率是

3

2

，且经过点M（2，1），直线y=

1

2

x+m(m＜0)与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．

Answer 1

分析：（1）设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的半焦距为c，利用椭圆的离心率是

3

2

，可得a=2b，根据椭圆经过点M（2，1），可得

4

a2

+

1

b2

=1，从而有a²=8，b²=2，故可求椭圆的方程为

x2

8

+

y2

2

=1
（2）将直线y=

1

2

x+m(m＜0)代入椭圆方程

x2

8

+

y2

2

=1得x²+2mx+2m²-4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则当m=-1时，x₁+x₂=2，x₁x₂=-2，所以AB的长为

15

，利用点到直线的距离公式可求得点M（2，1）到直线x-2y-2=0 的距离为

2

5

，从而可求△MAB的面积．
（3）设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，△MAB的内心是I，则k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=0，从而可知∠AMB的平分线MI垂直于x轴，故可△MAB的内心的横坐标．

解答：解：（1）设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的半焦距为c
∵椭圆的离心率是

3

2

，∴

c2

a2

=1-

b2

a2

=

3

4

，∴a=2b
又椭圆经过点M（2，1），∴

4

a2

+

1

b2

=1，解得a²=8，b²=2
∴椭圆的方程为

x2

8

+

y2

2

=1
（2）将直线y=

1

2

x+m(m＜0)代入椭圆方程

x2

8

+

y2

2

=1得x²+2mx+2m²-4=0
令△=4m²-4（2m²-4）＞0，∴-2＜m＜0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4
当m=-1时，x₁+x₂=2，x₁x₂=-2，∴AB的长为

15

点M（2，1）到直线x-2y-2=0 的距离为

2

5

∴△MAB的面积S=

1

2

×

15

×

2

5

=

3

（3）设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，△MAB的内心是I，则k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=0
∵m＜0，∴∠AMB的平分线MI垂直于x轴
∴△MAB的内心的横坐标是2．

点评：本题以椭圆的几何性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，关键是直线与椭圆方程的联立，合理运用韦达定理．