Question

【题目】设、是椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于、的一点．

（1）是椭圆的上顶点，且直线与直线垂直，求点到轴的距离；

（2）过点的直线（不过坐标原点）与椭圆交于、两点，且点在轴上方，点在轴下方，若，求直线的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设点，根据，可求得直线的方程，并将直线与椭圆的方程联立，可求出点的坐标，进而可求得点到轴的距离；

（2）设点、，设直线的方程为，可知，，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由得，结合韦达定理可求得实数的值，进而可求得直线的斜率.

（1）设点，又、、．

直线与直线垂直，直线的斜率为，

直线的斜率为，则直线的方程为，

联立椭圆方程，消去得，

解得，则，因此，点到轴的距离为；

（2）设、，则，，设直线的方程为，

代入椭圆的方程消去，得，

得，，

由，知，即，

代入上式得，，

所以，解得，

，则，所以，，故直线的斜率为．