题目内容
【题目】设圆的圆心为
,直线
过点
且与
轴不重合,交圆
于
,
两点,过点
作
的平行线交
于点
.
(1)求的值;
(2)设点的轨迹为曲线
,直线
与曲线
相交于
,
两点,与直线
相交于
点,试问在椭圆
上是否存在一定点
,使得
,
,
成等差数列(其中
,
,
分别指直线
,
,
的斜率).若存在,求出
点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
(1)由且
,可得
,进而得到
,再由半径
,即可求解;
(2)由(1)知得的方程,设直线
的方程为
,代入椭圆的方程,利用根与系数的关系和
,
,
成等差数列,求得
,由对任意的
该等式恒成立,求得
,即可得到答案.
(1)因为圆的圆心为
,所以
且
,
所以,所以
,
所以,
又因为圆的半径为8,即
,
所以.
(2)由(1)知,曲线是以
,
为焦点的椭圆,且长轴长为8,
所以曲线的方程为
,
设直线的方程为
,
代入椭圆化简得,
设,
,
,则
,
,
所以
,
因为,
,
成等差数列,所以
,
因为,所以
,
化简得,
对任意的该等式恒成立,所以
,
所以存在点,使得
,
,
成等差数列.
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练习册系列答案
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,
分组,绘成频率分布直方图如下:
嘉宾 | ||||||
评分 | 96 | 95 | 96 | 89 | 97 | 98 |
(1)从观众中任取三人,求这三人中恰有1人分数在另2人分数在
的概率;
(2)从嘉宾中随机选3人,记3人中分数不低于96分的人数为,求
的期望;
(3)嘉宾评分的平均数为,场内外的观众评分的平均数为
与
的大小关系(不需要证明).