题目内容
直线l与椭圆
+
=1（a＞b＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，已知
=（ax1，by1），
=（ax2，by2），若
⊥
且椭圆的离心率e=
，又椭圆经过点(
，1)，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线l的斜率k的值．
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
| m |
| n |
| m |
| n |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线l的斜率k的值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系及椭圆经过点(
，1)，得到a，b，c的方程，解得即可；
（Ⅱ）设l的方程为y=kx+
，联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，
再由向量垂直的坐标表示，整理化简得到k的方程，解出即可．
| ||
| 2 |
（Ⅱ）设l的方程为y=kx+
| 3 |
再由向量垂直的坐标表示，整理化简得到k的方程，解出即可．
解答：
解：（Ⅰ）∵
∴a=2，b=1∴椭圆的方程为
+x2=1
（Ⅱ）依题意，设l的方程为y=kx+
，
由
⇒(k2+4)x2+2
kx-1=0，
显然△=12k2+4（k2+4）＞0，x1+x2=
，x1x2=
，
由
⊥
得
•
=0，即有
a2x1x2+b2y1y2=4x1x2+(kx1+
)(kx2+
)=(4+k2)x1x2+
k(x1+x2)+3
=(k2+4)(-
)+
k•
+3=0，
解得k=±
．
即得直线l的斜率k的值为±
．
|
∴a=2，b=1∴椭圆的方程为
| y2 |
| 4 |
（Ⅱ）依题意，设l的方程为y=kx+
| 3 |
由
|
| 3 |
显然△=12k2+4（k2+4）＞0，x1+x2=
-2
| ||
| k2+4 |
| -1 |
| k2+4 |
由
| m |
| n |
| m |
| n |
a2x1x2+b2y1y2=4x1x2+(kx1+
| 3 |
| 3 |
| 3 |
=(k2+4)(-
| 1 |
| k2+4 |
| 3 |
-2
| ||
| k2+4 |
解得k=±
| 2 |
即得直线l的斜率k的值为±
| 2 |
点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理，同时考查向量垂直的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．
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设θ∈（
，π），则关于x，y的方程
+
=1所表示的曲线为（ ）
| 3π |
| 4 |
| x2 |
| sinθ |
| y2 |
| cosθ |
| A、长轴在y轴上的椭圆 |
| B、长轴在x轴上的椭圆 |
| C、实轴在y轴上的双曲线 |
| D、实轴在x轴上的双曲线 |
