Question

用一根细铁丝围一个面积为4的矩形，
（1）试将所有铁丝的长度y表示为矩形的某条边长x的函数；
（2）①求证：函数f（x）=x+

4

x

在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数；
②题（1）中矩形的边长x多大时，细铁丝的长度最短？

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（1）利用面积求出另一条边长为

4

x

，则可得铁丝的长度；
（2）①利用导数证明即可；②由①可知x=3时，函数取得最小值．

解答： （1）解：由题意，另一条边长为

4

x

，则铁丝的长度y=2x+

4

x

（x＞0）；
（2）①证明：∵f（x）=2（x+

4

x

），
∴f′（x）=2-

8

x2

，
∴在（0，2]上，f′（x）＜0，在[2，+∞）上，f′（x）＞0，
∴函数f（x）=2（x+

4

x

）在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数；
②解：由①可知x=2时，函数取得最小值8．

点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查学生的计算能力，属于中档题．