Question

曲线C₁的极坐标方程为ρcos²θ=sinθ，曲线C₂的参数方程为

x=3-t y=1-t

（t为参数），以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C₁上的点与曲线C₂上的点最近的距离为（　　）

• A、2
• B、

  2

• C、

  3 2

  4

• D、

  7 2

  8

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,坐标系和参数方程

分析：求出两条曲线的直角坐标方程，通过直线的斜率，求出与直线平行的直线与抛物线的切点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．

解答：解：曲线C₁的极坐标方程为ρcos²θ=sinθ，普通方程为：y=x²，
曲线C₂的参数方程为

x=3-t y=1-t

（t为参数），的普通方程为：x-y-2=0．
与直线平行的直线与抛物线相切时，切点到直线的距离最小，就是曲线C₁上的点与曲线C₂上的点最近的距离．
y′=2x，设切点为（a，b），∴2a=1，切点为（

1

2

，

1

4

）．
曲线C₁上的点与曲线C₂上的点最近的距离为：

| 1 2 - 1 4 -2|

12+(-1)2

=

7 2

8

．
故选：D．

点评：本题考查参数方程与极坐标与普通方程的互化，曲线之间距离的最值的求法，导数的应用，考查转化思想以及计算能力．