Question

19．已知函数$f（x）=\frac{e^x}{{a{x^2}+bx+1}}$，其中a，b，c∈R．
（Ⅰ）若a=b=1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=0，且当x≥1时，f（x）≥1总成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a=b=1，函数f（x）的导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的单调区间；
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥1总成立，转化为bx+1＞0在x≥1恒成立，推出b≥0，即证明$b≤\frac{{{e^x}-1}}{x}$在x≥1时恒成立，设$g（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}$，求出导函数，函数的最值即可推出结果．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{e^x}{{{x^2}+x+1}}，f'（x）=\frac{{{e^x}x（x-1）}}{{{{（{x^2}+x+1）}^2}}}$，
f'（x）＞0⇒x＜0或x＞1；f'（x）＜0⇒0＜x＜1
函数f（x）在（-∞，0），（1，+∞）单调递增，在（0，1）单调递减．
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥1总成立，
即当x≥1时$\frac{e^x}{bx+1}≥1$恒成立，
因为e^x＞0，所以bx+1＞0在x≥1恒成立，所以b≥0
所以只需x≥1时e^x≥bx+1恒成立，需$b≤\frac{{{e^x}-1}}{x}$在x≥1时恒成立，
设$g（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}$，则$g'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）+1}}{x^2}$，x≥1时，$g'（x）=\frac{{{e^x}（x-1）+1}}{x^2}＞0$，
所以$g（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}$在[1，+∞）单调递增，x≥1时，g（x）≥g（1）=e-1，所以b≤e-1，
综上0≤b≤e-1．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及构造法的应用，开心分析问题解决问题的能力．