Question

8．对于定义域为I的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆I，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，则称[m，n]是函数y=f（x）的“好区间”．
（1）设g（x）=log_a（a^x-2a）+log_a（a^x-3a）（其中a＞0且a≠1），求g（x）的定义域并判断其单调性；
（2）试判断（1）中的g（x）是否存在“好区间”，并说明理由；
（3）已知函数P（x）=$\frac{（{t}^{2}+t）x-1}{{t}^{2}x}$（t∈R，t≠0）有“好区间”[m，n]，当t变化时，求n-m 的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据对数的真数大于0，在讨论底数a与1的大小可得定义域．定义证明单调性．
（2）根据定义域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，建立关系求解a的值即可判断．
（3）根据定义域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，建立关系，转化为二次函数的问题配方求解最值．

解答 解：（1）由题意：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}-2a＞0}\\{{a}^{x}-3a＞0}\end{array}\right.$，解得：a^x＞3a，
①当a＞1时，x＞log₃（3a），函数此时定义域D=（log₃（3a），+∞）．
设x₁＜x₂，x₁，x₂∈D，
∵${a}^{{x}_{1}}＜{a}^{{x}_{2}}$，∴0＜${a}^{{x}_{1}}-2a＜{a}^{{x}_{2}}-2a$，0＜${a}^{{x}_{1}}-3a＜{a}^{{x}_{2}}-3a$，
∴$lo{g}_{a}（{a}^{{x}_{1}}-2a）＜lo{g}_{a}（{a}^{{x}_{2}}-2a）$，$lo{g}_{a}（{a}^{{x}_{1}}-3a）＜lo{g}_{a}（{a}^{{x}_{2}}-3a）$，
∴g（x₂）＞g（x₁）
故得函数g（x）在定义域D=（log₃（3a），+∞）内是增函数．
②当0＜a＜1时，x＜log₃（3a），函数此时定义域D=（-∞，log₃（3a））．
同理可证g（x）在定义域D=（-∞，log₃（3a））内是增函数．
（2）假设g（x）存在“好区间”，由（1）可知?m，n∈D（m＜n，
由新定义有：$\left\{\begin{array}{l}{g（m）=m}\\{g（n）=n}\end{array}\right.$?关于x的方程在定义域D内有两个不等的实数根．
即（a^x-2a）（a^x-3a）=a^x在定义域D内有两个不等的实数根．（*）
设t=a^x，则（*）?（t-2a）（t-3a）=t，即t²-（5a+1）t+6a²=0在（3a，+∞）内有两个不等的实数根，
令t²-（5a+1）t+6a²=P（t），
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0，且a≠1}\\{△=（5a+1）^{2}-24{a}^{2}＞0}\\{\frac{5a+1}{2}＞3a}\\{p（3a）＞0}\end{array}\right.$，解得：a无解．
所以函数g（x）不存在“好区间”．
（3）由题设，函数P（x）=$\frac{（{t}^{2}+t）x-1}{{t}^{2}x}$=$\frac{t+1}{t}-\frac{1}{{t}^{2}x}$（t∈R，t≠0）有“好区间”[m，n]，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
∴[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
根据反比例的性质，函数P（x）=$\frac{t+1}{t}-\frac{1}{{t}^{2}x}$在[n，m]上单调递增，
则$\left\{\begin{array}{l}{p（m）=m}\\{p（n）=n}\end{array}\right.$，所以m，n是方程p（x）=x实数根．
即方程t²x²-（t²+t）x+1=0有同号的相异实数根．
∵mn=$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，mn同号，
∴△=（t²+t）-4t²＞0或t＜-3，解得：t＞1或t＜-3．
m-n=$\sqrt{（n+m）^{2-4mn}}=\sqrt{-3（\frac{1}{t}-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$，
当t=3，n-m得最大值$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了新定义的理解和运用，二次函数的性质及运用化简计算能力和知识点的延升综合运用．属于难题．