Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且．

（Ⅰ）若点为上一点且，证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得?若存在，求出的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证线面平行，就要证线线平行，由线面平行的性质定理知平行线是过的平面与平面的交线，由已知过点作，交于,连接,就是要找的平行线；（Ⅱ）求二面角，由于图中已知两两垂直，因此以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，可用向量法求得二面角，只要求得两个面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可得（需确定二面角是锐二面角还是钝二面角）；（3）有了第（2）小题的空间直角坐标系，因此解决此题时，假设存在点，设，由求得即可．

试题解析：（Ⅰ）过点作，交于,连接,

因为，所以．

又，，所以．

所以为平行四边形, 所以．

又平面，平面,（一个都没写的，则这1分不给）

所以平面．

（Ⅱ）因为梯形中，，,所以．

因为平面，所以,

如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系,

所以．

设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,

因为

所以，即，

取得到,

同理可得,

所以,

因为二面角为锐角，

所以二面角为．

（Ⅲ）假设存在点，设，

所以,

所以，解得，

所以存在点，且．