Question

【题目】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA面ABCD，且AB＝2，AD＝4，

AP＝4，F是线段BC的中点.

⑴ 求证：面PAF面PDF；

⑵ 若E是线段AB的中点，在线段AP上是否存在一点G，使得EG面PDF？若存在，求出线段AG的长度；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.

【解析】试题分析：（1）PA面ABCD， 面ABCD， PADF ，在矩形内根据F是线段BC的中点和长度，根据勾股定理求得AFDF，即得证 (2)解法一：延长AB交DF延长线于点M，连结PM.这样将面PDF延伸，当EGPM时存在一点G，使得EG面PDF 解法二：构造平行四边形，取DF中点I，连结EI，过点G作AD的平行线交PD于点H，连结GH、HI.证得四边形GEIH是平行四边形，根据线面平行判定定理即可证得。

解析：⑴ PA面ABCD， 面ABCD， PADF，

又在底面ABCD中， ， ，

， AFDF，

， DF面PAF，

面PDF，面PAF面PDF.

解⑵：法一、假设在线段AP上存在点G，使得EG面PDF.连结AB并延长交DF延长线于点M，连结PM.

F是线段BC的中点，底面ABCD是矩形，

，

EG面PDM， 面PAM，面PAM 面PDM=PM，

EGPM，

， ，

故在线段AP上存在点G，使得EG面PDF，此时.

法二、假设在线段AP上存在点G，使得EG面PDF.取DF中点I，连结EI，过点G作AD的平行线交PD于点H，连结GH、HI.

E是线段AB的中点， 是梯形ABFD的中位线，

，EIGH，

EG面PDF， 面GEIH，面GEIH 面PDM=IH，

EGIH，

四边形GEIH是平行四边形，

，

， ，

故在线段AP上存在点G，使得EG面PDF，此时.