Question

【题目】已知，其中常数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）若函数有两个零点，求证： ；

（3）求证： .

选做题：

Answer 1

【答案】(1) 有极小值，没有极大值.(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】试题分析：先写出函数的定义域，（1）由，求出的导数，再求出的单调性，即可求得极值；（2）先证明：当恒成立时，有成立，若，则显然成立；若，运用参数分离，构造新函数通过求导数及单调性，结合函数零点存在定理，即可得证；（3）讨论当当时， 恒成立，可设设，求出导数，单调区间及最大值，运用不等式的性质，即可得证.

试题解析：函数的定义域为，

（1）当时， ， ，

而在上单调递增，又，

当时， ，则在上单调递减；

当时， ，则在上单调递增，所以有极小值，没有极大值.

（2）先证明：当恒成立时，有成立.

若，则显然成立；

若，由得，令，

则，

令，由得在上单调递增，

又∵，所以在上为负，在上为正，

∴在上递减，在上递增

∴，从而.

因而函数若有两个零点，则，所以，

由得，则

，

∴在上单调递增，

∴，

∴在上单调递增

∴，则

∴

由得，则

∴，

综上得.

（3）由（2）知当时， 恒成立，所以，

即，

设，则，

当时， ，所以在上单调递增；

当时， ，所以在上单调递减；

所以的最大值为，即，

因而，

所以，即

点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．