Question

（本小题满分14分） 已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）求证：（其中，e是自然对数的底数）．

Answer 1

（Ⅰ）的单调递增区间为，单调递减区间为．
（Ⅱ）．（Ⅲ）见解析。

本试题主要是考出了导数在研究函数中的运用。
（1）因为当时，（），
（），
由解得，由解得．得到单调区间。
（2）因函数图象上的点都在所表示的平面区域内，则当时，不等式恒成立，即恒成立，设（），只需即可，转化思想的运用。
（3）据（Ⅱ）知当时，在上恒成立（或另证在区间上恒成立）结合放缩法得到结论。
（Ⅰ）当时，（），
（），
由解得，由解得．
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．········· 4分
（Ⅱ）因函数图象上的点都在所表示的平面区域内，则当时，不等式恒成立，即恒成立，设（），只需即可．  5分
由，
（ⅰ）当时， ，当时，，函数在上单调递减，故成立．   6分
（ⅱ）当时，由，因，所以，
①若，即时，在区间上，，则函数在上单调递增，在上无最大值（或：当时，），此时不满足条件；
②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件．·························· 8分
（ⅲ）当时，由，∵，∴，
∴，故函数在上单调递减，故成立．
综上所述，实数a的取值范围是．··················· 10分
（Ⅲ）据（Ⅱ）知当时，在上恒成立（或另证在区间上恒成立），    11分
又，
∵



，
∴．··········· 14分