Question

8．已知函数g（x）=x（e^x-e^-x）-（3x-1）（e^3x-1-e^1-3x），则满足g（x）＞0的实数x的取值范围是（　　）

• A． $（{-∞，\frac{1}{2}}）$
• B． $（{\frac{1}{2}，+∞}）$
• C． $（{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}）$
• D． $（{-∞，\frac{1}{4}}）∪（{\frac{1}{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 构造新函数h（x）=x（e^x-e^-x），求证h（x）为偶函数且在x＞0上单调递增，即能得到h（|x|）＞h（|3x-1|）．

解答 解：构造函数h（x）=x（e^x-e^-x）
h（-x）=（-x）（e^-x-e^x）=x（e^x-e^-x），所以函数h（x）是偶函数．
当x＞0时，h（x）为单调递增函数，由h（x）＞0知：
x（e^x-e^-x）＞（3x-1）（e^3x-1-e^1-3x）
即：h（x）＞h（3x-1）
由于h（x）是偶函数，不等式等价于h（|x|）＞h（|3x-1|）
由h（x）在x＞0上是增函数，∴|x|＞|3x-1|
两边平方解得：$\frac{1}{4}＜x＜\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了构造新函数，函数的奇偶性和单调性，属中等题．