Question

4．已知集合A={x|1＜x-1＜3}，B={x|（x-3）（x-a）＜0}，
（1）当a=5时，求A∩B，A∪B．
（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求A，B集合，根据集合的交集，并集的基本运算性质，求解
（2）由题意A∩B=B，则B⊆A，对B≠∅和B=∅进行讨论，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）由题意集合A={x|1＜x-1＜3}={x|2＜x＜4}；
B={x|（x-3）（x-a）＜0}，
当a=5时，B={x|3＜x＜5}；
则：A∩B={x|3＜x＜4}；
A∪B={x|2＜x＜5}．
（2）由题意A∩B=B，则B⊆A，
当a＞3时，B={x|3＜x＜a}；
∵B⊆A，
则a≤4
故得3＜a≤4．
当a＜3时，B={x|a＜x＜3}；
∵B⊆A，
则a＜4
故得2≤a＜3．
当a=3时，B={x|（x-3）²＜0}，无解，此时B=∅．
∵B⊆A，
满足题意
故得a=3．
综上所述：可得实数a的取值范围是[2，4]．

点评 本题考查的知识点是集合的交集，并集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于中档题．