Question

为了提高校园景观，某校改造花圃用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，花圃规划用地区域近似地为半径是R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原花圃用地，测量可知边界AB=AD=4米，BC=6米，CD=2米．
（Ⅰ）请计算原花圃用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；
（Ⅱ）因地理条件的限制，边界AD，CD不能变更，而边界AB，BC可以调整，为提高花圃改造用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P，使得花圃改造的新用地APCD的面积最大，并求最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用

分析：（1）连接AC，应用余弦定理及同角三角函数关系、面积公式求解；（2）当点P在圆弧ABC上的中点时，新用地APCD的面积最大，求三角形的高，然后求面积．

解答： 解：（Ⅰ）连接AC，则由∠B+∠D=π得，
cosB+cosD=0，
即

AB2+BC2-AC2

2AB•BC

+

AD2+DC2-AC2

2AD•DC

=0，
 即

16+36-AC2

2×4×6

+

16+4-AC2

2×4×2

=0，
解得，AC=2

7

，cosB=

1

2

，
∴sinB=sinD=

3

2

，
S_ABCD=

1

2

•AB•BC•SinB+

1

2

AD•DC•DC•sinD
=

1

2

×4×6×

3

2

+

1

2

×4×2×

3

2

=8

3

．
R=

AC

SinB

•

1

2

=

2 21

3

．
（Ⅱ）由图可知，当点P在圆弧ABC上的中点时，新用地APCD的面积最大，
此时，点P到AC的距离为h=

2 21

3

+

( 2 21 3 )2- 7 2

=

21

，
则面积为S=

1

2

•AC•h+sACD=

1

2

×2

7

×

21

+2

3

=9

3

．

点评：四边形的面积有时化为三角形求解，本题还考查了解三解形的知识．