Question

17．已知向量$\overrightarrow{{A}{B}}$、$\overrightarrow{{A}C}$、$\overrightarrow{{A}D}$满足$\overrightarrow{{A}C}=\overrightarrow{{A}{B}}+\overrightarrow{{A}D}$，$|{\overrightarrow{{A}{B}}}|=2$，$|{\overrightarrow{{A}D}}|=1$，E、F分别是线段BC、CD的中点．若$\overrightarrow{D{E}}•\overrightarrow{{B}F}=-\frac{5}{4}$，则向量$\overrightarrow{{A}{B}}$与向量$\overrightarrow{{A}D}$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{6}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，结合$\overrightarrow{D{E}}•\overrightarrow{{B}F}=-\frac{5}{4}$求得$＜\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CD}＞=\frac{π}{3}$，从而向量$\overrightarrow{{A}{B}}$与向量$\overrightarrow{{A}D}$的夹角为$\frac{π}{3}$．

解答 解：如图
$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{BF}$=$（\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}）（\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}）=\frac{5}{4}\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CD}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{CD}^2}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{CB}^2}=-\frac{5}{4}$．
由$|{\overrightarrow{CD}}|=|{\overrightarrow{AB}}|=2$，$|{\overrightarrow{BC}}|=|{\overrightarrow{AD}}|=1$，可得$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CD}=1$
∴cos$＜\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CD}＞$=$\frac{1}{2}$，则$＜\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CD}＞=\frac{π}{3}$，
从而向量$\overrightarrow{{A}{B}}$与向量$\overrightarrow{{A}D}$的夹角为$\frac{π}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加法、减法法则，是中档题．