题目内容
19．在△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c满足c=2acosBcosC+2bcosCcosA，且△ABC的面积为3$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{13}$，则a+b=（ ）| A． | 4 | B． | 5 | C． | 6 | D． | 7 |
分析 利用正弦定理，代入，根据，两角和的正弦公式即可求得C，根据三角形的面积公式及余弦定理，即可求得a2+b2，由完全平方公式即可求得a+b的值．
解答 解：由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
由c=2acosBcosC+2bcosCcosA，则2RsinC=2×2RsinA×cosBcosC+2×2RsinB×cosCcosA，
sinC=2cosC（sinAcosB+sinBcosA），
∴sinC=2cosCsin（A+B）
由C=π-（A+B），
则sinC=2cosCsinC，
由sinC≠0，则2cosC=1，cosC=$\frac{1}{2}$，
△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$ab×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
则ab=12，
由余弦定理可知：c2=a2+b2-2abcosC，
则a2+b2=25，
由（a+b）2=a2+2ab+b2=49，
则a+b=7，
故选D．
点评 本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，两角和的正弦公式，考查计算能力，属于中档题．
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10．
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如图，在边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AD}$（m，n为实数），则m+n的取值范围是（ ）| A． | $[{1-\frac{{\sqrt{2}}}{4}，2+\frac{{\sqrt{2}}}{4}}]$ | B． | $[{\frac{3}{4}，2+\frac{{\sqrt{2}}}{4}}]$ | C． | $[{\frac{3}{4}，\frac{9}{4}}]$ | D． | $[{1-\frac{{\sqrt{2}}}{4}，\frac{9}{4}}]$ |
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